Le gros blème de Kepler

Pour faire un programme permettant de se positionner grâce au Soleil, il a fallu utiliser principalement ce qu’on appelle l’équation du temps, c’est-à-dire la différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai. Cette équation induit donc la vitesse  « réelle prise à l’instant t » de la Terre autour du Soleil, vitesse non constante dans le temps suite à sa trajectoire elliptique (voir lois de Kepler). Maintenant nous allons voir comment a été obtenue cette équation, la méthode trouvée devrait peut-être nous permettre de la réinvestir plus tard dans le calcul des trajectoires des planètes également utiles à la navigation (Mercure, Vénus, Mars, Jupiter, Saturne), sachant que pour établir un programme de positionnement avec les planètes il faudra également se taper un changement de référentiel (passer d’un référentiel héliocentrique à un référentiel géocentrique, un truc du genre). Pour rédiger la suite je me suis beaucoup aidé du bouquin « le minimum théorique » de Leonard Susskind (pas toujours évident à piger du premier coup mais super intéressant, j’ai utilisé son bouquin sur la mécanique classique) et aussi des cours de physique disponibles sur youtube de Richard Taillet (mécanique, semestre 2, cour 3), très clair et très bien expliqué où à partir des équations du mouvement il démontre la trajectoire elliptique et les lois de Kepler entre 2 corps. Bon j’espère ne pas avoir glissé trop de conneries dans le résumé de toutes ces étapes.

 

700px-Eqdt_wiki

(Avec le schéma ci-dessus, on voit bien le long de l’année le décalage entre le soleil moyen où la Terre tourne théoriquement autour en faisant un cercle parfait, et le soleil vrai)

1) Des trucs de mécanique classique

Un système physique peut-être résumé en mécanique comme la somme des énergies cinétiques (Ec) et potentielles (Ep) qui lui sont attribuées, c’est l’énergie totale du système (Et). L’énergie cinétique représente en gros « l’énergie du mouvement » de l’objet étudié, et l’énergie potentielle, comme son nom l’indique, l’énergie que l’objet pourrait potentiellement libérer (pas terrible comme définition mais j’ai du mal à le cerner autrement). Par exemple si on prend une balle en haut d’un immeuble en suspens, prête à être lâchée, alors à ce moment-là son énergie potentielle sera à son maximum, et son énergie cinétique sera nulle (car la balle est immobile par rapport au référentiel immeuble). Maintenant si on prend cette balle juste avant son impact au sol, son énergie cinétique sera alors à son maximum (la balle aura atteint sa vitesse max) mais cette fois son énergie potentielle sera presque au minimum (elle sera au minimum quand la balle aura touché le sol).

énercies différentes (Copier)

Donc en formule de physique l’énergie totale d’un système ça donne ça :

Et=Ec+Ep=1/2 mv^2 + V(x), avec V(x)=potentiel du système. Je l’ai noté V(x) car le potentiel dépend de la position de l’objet étudié dans un repère donné (en reprenant l’exemple du ballon sur le gratte-ciel, plus le gratte-ciel sera élevé et plus l’énergie potentielle du ballon sera forte c’est l’idée en gros).

Et bien à partir de tout ça on peut retrouver les équations du mouvement de l’objet. Mais avant d’aller plus loin on va définir d’autres trucs de physique (mais pas trop faut pas déconner non plus rassurez-vous).

  1. a) L’énergie potentielle

Pour les systèmes à force centrale (comme les planètes soumises à l’influence gravitationnelle d’un astre, que l’on apparentera à un point) on peut définir que les sommes des  forces appliquées à l’objet sont égales à la négative du gradient de l’énergie potentielle : ∑F=-grad(V), il y a un moins devant grad car l’objet est dirigé vers le point (donc l’accélération symbolisable par un vecteur serait dirigée vers le point si on schématisait l’ensemble). On peut aussi définir la force de la façon suivante :

Fi(x)=-∂V(x)/∂xi ; ce truc signifie que la force exprimée sur un degré de liberté spatial du système (ici xi) est égale à la dérivée partielle du potentiel par rapport à ce degré de liberté spatial…Enfin je crois. On peut aussi dire qu’une force c’est la divergence spatiale d’une énergie potentielle (en backflip mikado la plupart du temps mais bref passons ce détail).

D’après les lois de Newton la somme des forces est égale au produit d’une masse par l’accélération de cet objet. Donc ∑F=ma. Ca explique pourquoi lorsque l’accélération d’un objet est nulle (objet immobile ou en vitesse constante), alors la somme des forces qui lui sont appliquées est égale à 0. Une force c’est une masse accélérée.

Jupiter

 

  1. b) Dérivées, intégrales, dérivées partielles

Les dérivées, dérivées partielles

Pour l’énergie potentielle on a parlé de gradient, mais c’est quoi en fait ? He bien il s’agit simplement de la somme des dérivées partielles spatiales du potentiel V ; c’est-à-dire :

Grad (V(x))= ∂(Vx)/∂x+∂(Vy)/∂y+∂(Vz)/∂z

La dérivée d’une fonction par rapport au temps indique son taux de variation dans le temps (on va alors parler de vélocité, c’est-à-dire de vitesse de l’objet selon une orientation du repère choisit, cartésien par exemple) mais ça peut aussi se faire dans l’espace si la fonction est dérivée par rapport à l’espace. En fait on peut très bien dériver une fonction avec n’importe laquelle de ses paramètres (pour les fonctions à plusieurs variables), pas juste le temps.

La dérivée seconde d’une fonction indique le taux de variation de la dérivée première. Si la dérivée première est la vélocité, alors la dérivée seconde ce sera l’accélération de l’objet selon un des axes du repère.

En général les dérivées permettent de voir comment va évoluer une fonction (croissante, décroissante, stationnaire…) et les dérivées secondes permettent de trouver les maximums et les minimums locaux de la fonction, entre autre.

Les dérivées ne sont pas exclusivement réservées aux fonctions  à une variable, elles peuvent être aussi utilisées pour les fonctions dépendant de plusieurs variables ; on va alors parler de dérivées partielles. Le principe reste quasiment le même sauf que quand on dérive la fonction par rapport à l’un des paramètres, on considère les autres comme de simples coefficients fixes. Par exemple on envisage la fonction F(x ;y)=3x+2y. Si on fait ∂F(x ;y)/∂x ça donne =3, et si on fait ∂F(x ;y)/∂y on obtient =2.

 

mars

Les intégrales

C’est un peu la démarche inverse d’une dérivée, si on peut dire ça comme ça. Si on devait définir de façon un peu plus rigoureuse ce truc là on pourrait dire que c’est la limite d’une somme d’aires placées sous une fonction. On peut donc en déduire que le potentiel est égal à la négative d’une primitive d’une force plus une constante : V=-∫Fdx+constante. Par contre ici on laissera tomber la constante (voir le principe d’invariance de jauge pour les curieux). Donc ça donne V=-∫Fdx.

  1. c) Le Lagrangien

En physique, le Lagrangien permet de déterminer l’évolution du système dans le temps et l’espace, déduire les équations du mouvement, et repérer les symétries éventuelles, c’est un peu un couteau suisse quoi…Il est aussi indispensable pour déterminer l’action d’un système (voir le principe de moindre action pour les curieux).

Le Lagrangien : c’est simplement l’énergie cinétique moins l’énergie potentielle de l’objet étudié (en tout cas pour nos planètes, mais c’est pas toujours le cas pour tous les systèmes), donc ça donne : L=1/2 mv^2-V(x). Le Lagrangien peut être considéré comme une fonction dépendant de 2 variables, une variable d’espace (induite par l’énergie potentielle) et une variable de vitesse (induite par l’énergie cinétique). Cela nous fait donc L=L(xi ; dxi/dt). (Dx/dt=vélocité sur axe x et xi symbolise les axes x, y et z).

Une symétrie : En physique c’est quand on a une invariance du lagrangien lorsque l’objet se déplace dans tel ou tel degré de liberté du système (on parle ici d’espace des configurations avec trois degrés de liberté dans l’espace, x, y et z). Par exemple la conservation du moment angulaire est une symétrie par rotation du système. On a donc dL/dt=0 dans une symétrie du Lagrangien liée au temps.

 

mercure

 

  1. d) Les équations d’Euler-Lagrange

Elles nous permettent, avec l’apport du Lagrangien, de trouver le moment conjugué du système (il va nous servir pour détecter des symétries du système) et les équations du mouvement.

Moment conjugué : c’est la dérivée du Lagrangien par rapport à la vélocité.

Equation d’Euler-Lagrange : c’est simplement : (d/dt)( dL/dVx’) – (dL/dx)=0 (pour un seul degré de liberté, ici x. x’ est la dérivée de x).

2) Trouver les équations du mouvement d’un astre autour du Soleil.

  1. a) Le Lagrangien en coordonnées polaires

On va d’abord chercher à définir le Lagrangien du système dans un repère orthonormé (x, y, z), puis on va le modifier pour fonctionner dans un repère en coordonnées polaires(r et ө, avec r=rayon, c’est-à-dire la distance entre les 2 astres et ө=angle).

L’énergie cinétique : c’est simple, c’est Ec=1/2 m(dx/dt)^2+1/2 m(dy/dt)^2. On considère que l’objet se déplace dans un plan unique (x, y) donc on néglige z. Si on avait intégré z on aurait parlé de coordonnées polaires cylindriques.

L’énergie potentielle : on va faire un petit tour de passe-passe ; on sait presque tous que la force gravitationnelle entre 2 corps définie par Newton est égale à GMm/r^2 (proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance d’éloignement). Or on a vu que V=-∫fdx ; donc si on intègre GMm/r^2 on va obtenir finalement V(r)=-GMm/r (car le potentiel dépend de la distance r qui est un paramètre variable, G, M et m sont considérés comme fixes, souvenez-vous de l’exemple du gratte-ciel et du ballon).

On sait que le Lagrangien est la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle, donc :

L=Ec-Ep=1/2 m(dx/dt)^2+1/2 m(dy/dt)^2+GMm/r

Maintenant on va convertir notre Lagrangien en coordonnées polaires. C’est plus pratique pour étudier un objet en rotation autour d’un autre. Il va y avoir 2 degrés de liberté : r qui est la distance entre les 2 astres et ө qui représentera en degrés l’angle entre le périastre et la position de l’objet en rotation par rapport au foyer (le Soleil).

D’après le petit schéma on peut donc convertir les coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires de la façon suivante :

 

rp_7_4 (Copier)

X=rcos(ө)

Y=rsin(ө)

Il suffit ensuite simplement de remplacer dans notre lagrangien ces nouvelles données ; cependant dans le Lagrangien on parle de vélocité alors qu’ici nous n’avons que des positions. Avant de trafiquer le Lagrangien il va donc être nécessaire de calculer les dérivées premières de X et Y. En prenant en compte le fait que ce sont des produits de fonctions (r avec cos(ө) et r avec sin(ө)), et que ө est à considérer comme une fonction dépendant du temps (donc cos(ө) et sin(ө) sont également à envisager comme des fonctions composées dans notre calcul de dérivées), on va trouver ça :

X’=r’cos(ө)-sin(ө)ө’r (les’ ça veut dire dérivée temporelle, c’est pour écrire plus vite et moins galérer. Par exemple r’ est la dérivée temporelle de r).

Y’=r’sin(ө)+ө’cos(ө)r

Si on prend nos dérivées et qu’on les fourre dans le Lagrangien à la place des coordonnées du début, on obtient :

L=1/2 m(r’^2+ө’^2r^2)+GMm/r, soit notre Lagrangien du système en coordonnées polaires.

  1. b) Les équations du mouvement

Cette fois on va sortir de notre boîte à outils et dégainer les équations d’Euler-Lagrange. On va l’utiliser pour nos 2 degrés de liberté et ça va nous donner :

(d/dt)( dL/dr’)- (dL/dr)=0 et (d/dt)(dL/dө’)-(dL/dө)=0

Quand on les résouds, on obtient donc 2 équations au total :

r’’=rө’^2-GM/r^2 (r’’ est la dérivée seconde temporelle de r, l’accélération quoi).

(d/dt) (mө’r^2)=0 (cette équation indique une symétrie du système, c’est-à-dire l’invariance du Lagrangien par rapport à la vitesse angulaire par rapport au temps. Autrement dit cela exprime la conservation du moment cinétique de l’objet quand il tourne autour du Soleil). On pourrait aussi écrire cette seconde équation sous cette forme : mө’r^2=constante.

Comme on sait que m est une masse considérée comme constante, alors on peut donc affiner et dire que r^2ө’=constante=C.

  1. c) Obtenir une fonction du type r(ө)

Cette fonction va nous permettre de déterminer la trajectoire d’un astre selon ses coordonnées polaires. Pour ça, reprenons le Lagrangien établis avant :

L= 1/2 m (r’^2+ө’^2r^2) + GMm/r

Nous avons établis également que C=r^2ө’. Cette constante n’est autre que la constante des aires, soit l’une des trois règles des lois de Kepler. Bon alors maintenant on va intégrer cette constante dans l’équation du Lagrangien et ça donne ça :

 1/2 r’^2+(1/2) (C^2/r^2)=GM/r+constante (on remarque qu’en simplifiant l’écriture m a disparu, soit la masse de l’objet en mouvement. Donc on peut en déduire que la masse de l’objet n’influe pas sur son déplacement autour de l’objet principal).

Maintenant on va chercher à transformer notre Lagrangien sous la forme d’une fonction r(ө).

Il va alors falloir établir r’ comme une fonction dépendant du paramètre ө, sachant que ө dépend du temps t ; on va poser mathématiquement :

r’=dr/dt=(dr/dө) (dө/dt) ; r’ se définit ici comme une fonction composée.

Donc en fait ça donne également dr(ө(t))/dt=(dr/dө)( dө/dt), donc au final ө’(dr/dө).

A partir de ça on remodifie l’écriture de la fonction trouvée précédemment et on obtient :

1/2 ө’^2 (dr/dө)^2 + 1/2 (C^2/r^2)- GM/r=constante

N’oublions pas que C=r^2 ө’ et donc ө’=C^2/r^4 , donc à partir de ça on remodifie encore l’écriture de notre équation et ça va nous servir ce truc :

(C^2/r^4) (dr/dө)^2 + C^2/r^2 – 2GM/r= constante

Pour simplifier nos prochains calculs,on va introduire une variable intermédiaire : u=1/r ou r=1/u.

Si on dérive r sur ө, en reprenant r=1/u on obtient dr/dө=(-1/u^2)( du/dө)

Bon bin c’est encore repartis pour modifier notre équation à partir de ces nouveaux éléments, en les insérant dans le paquet ça fait :

C^2 u^4 (1/u^4) (du/dө)^2 + C^2 u^2 – 2GMu= constante

On simplifie : C^2 (du/dө)^2 + C^2 u^2 – 2GMu= constante

On resimplifie encore : (du/dө)^2 + u^2 – 2GMu/C^2=constante

Maintenant on dérive tout part u, puis on dérive par ө :

2 (d^2 u/dө^2) (du/dө) + 2u (du/dө) – (2GM/C^2) (du/dө)=0

On remarque alors que l’équation peut être simplifiée, et ça nous donne :

(d^2 u/dө^2) + u=GM/C^2 , ça va nous permettre de calculer u selon ө donc r selon ө.

Bref là on a une équation différentielle à résoudre…Pas gagné cette histoire.  Si u est constante on a comme solution d’après l’équation GM/C^2, mais ça reste une solution particulière (ça c’est si la trajectoire de l’objet décrit un cercle dans l’espace, pas une ellipse). La solution ça va être l’oscillateur harmonique de la forme suivante Acos(ө) + Bsin(ө), égal aussi à Xcos(ө+ө0) avec X l’amplitude du mouvement. On retrouve aussi l’oscillateur harmonique dans l’étude des mouvements du pendule ou l’électricité par exemple. En fait on peut donc en déduire que :

u(ө) = GM/C^2 + Xcos(ө+ө0) ; et maintenant c’est bien gentil tout ça, mais nous on cherche r(ө) quand même merde ! Ha bin oui alors comme r=1/u, alors bon voilà :

u(ө)=GM/C^2 (1+ (AC^2/GM) cos (ө+ө0)) , – AC^2/GM c’est l’excentricité de l’ellipse notée e.

Donc : r(ө)= (C^2/GM)/(1-e cos(ө+ө0)). Le ө0 est négligeable(il est utile si on veut décaler la période de la fonction c’est tout) donc on obtient notre équation recherchée :

r(ө)=(C^2/GM)/(1- e cos(ө))

Si e est égal ou supérieur à 0 mais strictement inférieur à 1, alors on a une trajectoire en ellipse; si e=1 alors notre trajectoire va être parabolique, et enfin si e>1 alors on va avoir une hyperbole. Cette équation permet de tracer la trajectoire selon l’angle de rotation, mais comment tracer cette trajectoire par rapport au temps ? En fait on va faire le lien de façon d’abord géométrique, et ensuite par approximation en utilisant des suites de nombres.

Petit apparté sur l’oscillateur harmonique : à partir de l’oscillateur harmonique, solution de l’équation différentielle vue auparavant, on peut exprimer différemment l’équation de la trajectoire. En effet, cet oscillateur résous l’équation différentielle suivante :

x’’+ Wo^2x=0 , comme on peut le voir elle ressemble beaucoup à celle trouvée précédemment : (d^2 u/dө^2) + u=GM/C^2.

En fait l’équation de l’oscillateur décrit un système physique au cour du temps avec absence d’amortissement, frottements, au voisinage d’une position d’équilibre stable. Wo est un paramètre appelé la pulsation propre, il est égal à Wo=2π/To, To est la période propre du phénomène.

Comme on l’a vu la solution peut s’écrire x(t)=Acos(Wot) et y(t)=Bsin(Wot) (ce sont des coordonnées paramétriques), en fait A=xo (position de x à l’instant t=0) et B=Vo/Wo (vitesse initiale divisée par la pulsation). Pourquoi ? car quand on pose t=0 alors x(0)=A (car cos(0)=1 et sin(0)=0) et quand on dérive y(t) et x(t) par rapport au temps, on trouve y’(t)=WoBcos(Wot), et si on fait y’(o) on obtient y’(o)=WoB donc B=y’(o)/Wo (y’(o)=Vo).

 

oscillateur harmonique

 (En tapant sur google « oscillateur harmonique sans amortissement planètes », on tombe sur ce pdf très bien expliqué ci-dessus)

3) La trajectoire elliptique

P=C^2/(GM), c’est ce qu’on appelle le paramètre de l’ellipse, donc r=P/(1- e cos(ө)).

Pour calculer r max, soit la distance à l’aphélie il suffit de poser ө=0, on obtient donc r max=P/(1-e), et la distance au périhélie il suffit de poser ө=180° ce qui nous donne r min=P/(1+e). Ensuite pour obtenir le demi-diamètre de notre ellipse il suffit de poser l’opération (r min + r max)/2 qui est égal à a= P/(1-e)^2. Donc si ө=90°, c’est-à-dire si cos (ө)=0, alors P=a (1- e)^2. Pour définir géométriquement l’ensemble des paramètres de l’ellipse j’ai introduit un petit schéma pour être plus clair :

 

ellipse

C=ae et b=a√(1-e^2). F c’est le foyer du Soleil (l’astre immobile servant d’origine), e l’excentricité et a le demi grand axe de l’ellipse. C c’est la distance du foyer jusqu’au centre o de l’ellipse.

4) L’équation du temps

C’est l’équation qui permet de déterminer la vitesse réelle du Soleil autour de la Terre (quand on prend la Terre comme référentiel). D’après wikipédia elle se compose de l’équation du centre additionnée à l’équation de l’obliquité de la Terre. Il existe également sur wikipépé une version simplifiée de l’équation où on a construit une fonction en approximant le phénomène par le biais de fonctions trigonométriques, mais nous on va regarder plutôt la version complète, œuf, jambon, et fromage.

  1. a) L’équation du centre

Elle est ici rédigée sous la forme d’une fonction C dépendant de l’anomalie moyenne M, soit C(M). L’anomalie moyenne est simple à définir, c’est la vitesse angulaire moyenne de l’astre qui bouge (on peut également considérer que c’est la vitesse de l’objet si sa trajectoire était parfaitement circulaire, en fait c’est la distance parcourue par l’objet en une rotation divisée par le temps mis à faire cette rotation, c’est tout). Donc M est à envisager aussi comme une fonction dépendant du temps t cette fois (donc on peut considérer la fonction C comme une fonction composée puisque C dépend de M qui dépend de t, en fait C dépend indirectement de t).

 

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Il existe l’équation de Kepler qui relie l’anomalie moyenne et l’anomalie excentrique : E-e sin(E)=M, avec M anomalie moyenne et E anomalie excentrique. En revanche l’équation ne contient pas l’anomalie vraie v. L’anomalie vraie dépend du temps, mais sur le schéma il n’y a pas de lien géométrique entre l’anomalie moyenne et les autres. Par contre l’équation précédente la relie à l’anomalie excentrique, mais problème : si on connaît l’anomalie moyenne (donc le temps…) on ne peut pas résoudre l’équation de Kepler de façon analytique, il va donc falloir approximer un résultat, trouver une solution approchée pour déterminer une position de l’astre par rapport au temps (et merde…).

Pour effectuer cette approximation on va utiliser des séries, et selon l’excentricité de la trajectoire on va employer :

. Pour une trajectoire d’excentricité avec e>e0=0.6627… Alors on va utiliser une série de Fourier (ici, c’est pour le cas d’objets avec de très fortes excentricités comme les comètes par exemple).

. Pour une trajectoire d’excentricité avec e<e0=0.6627… Alors on va utiliser une série entière (pour les planètes utiles à la navigation ce sera des séries entières donc, tout comme pour la Terre).

  1. b) L’équation de l’obliquité de la Terre

C’est une fonction qui dépend de la longitude écliptique LE donc on peut l’écrire R(LE). Elle permet de transvaser les coordonnées écliptiques du Soleil en coordonnées équatoriales, plus utiles à l’usage. Calculer LE est facile, c’est simplement la vitesse angulaire moyenne du Soleil autour de la Terre (référentiel géocentrique) avec en plus C(M) qui permet de corriger cette vitesse selon la forme elliptique de la trajectoire. R(LE) utilise une formule pour faire le lien entre longitude écliptique et coordonnées équatoriales (voir schéma suivant).

 

440px-Terre_pour_equation_du_temps_2.svg (1)

Dans le schéma ci-dessus, ϒ représente le point vernal (croisement de l’équateur et de l’écliptique au nœud ascendant) ; ϵ c’est l’angle d’inclinaison entre l’équateur et l’écliptique qui varie légèrement sur une longue période. A(t) est un point quelconque dépendant du temps t, et fixe sur la surface terrestre donc il fait un tour en un jour sidéral de façon régulière. Le point S(t) est aligné entre le centre de la Terre et le Soleil, et fait un tour en une année sidérale, donc il a une vitesse irrégulière sur un an (trajectoire elliptique). Et B(t) est  l’interception entre le méridien de S(t) et l’équateur. On obtient donc à la surface terrestre un triangle rectangle sphérique rectangle en B(t), ce qui donne cos(ϵ)=ϒB(t)/ϒS(t), donc ϒB(t)=cos(ϵ) ϒS(t). Jusqu’ici ça va après ça se complique un peu. Alors pour résumer, A(t) tourne de façon régulière, S(t) de façon irrégulière donc B(t) également, donc en fait A(t) est relié à l’anomalie moyenne et B(t) est relié à l’anomalie vraie…On peut en déduire que l’angle entre A(t) et B(t) est l’heure solaire vraie. Donc Hv(t)=angle BA= angle Bϒ+angleϒA.

Pour définir l’heure solaire moyenne, on va prendre le point A(t) car il se meut de façon régulière, et on va prendre un point fictif dérivé de S(t) qu’on va appeler Sv(t) ; mais celui-là on va imaginer qu’il bouge de façon régulière. Ca donne : Hm(t)=angleSvϒ+angleϒA. Comme l’équation du temps c’est la différence entre l’heure solaire moyenne et l’heure solaire vraie, alors E(t)=Hm(t)-Hv(t)=angleBϒ-angleSvϒ.

Mais on sait que ϒB(t)=cos(ϵ) ϒS(t), or ϒB(t)=tan(ϒB) et ϒS(t)=tan(ϒS), donc :

Tan(angleϒSv+E)=cos(ϵ) tan(angleϒS)

E(t)=-angleϒSv+arctan(cos(ϵ)tan(angleϒS))

En utilisant une série et en posant y=tan(ϵ/2) pour ϵ/2≈0,20, ça donne :

R= arctan (cos (ϵ) tan(ϒs))-ϒs

R= arctan (cos(ϵ) tan (λs-π))-(λs-π)

R= -arctan ((sin(2λs) y^2)/(1+y^2cos(2λs)))

R=-y^2sin (2λs) + ½ y^4sin(4λs)-1/3 y^6 sin (6λs)+….

 

Voilà, avec tout ça on peut faire un petit programme de positionnement avec le Soleil, et aussi peut-être avec les planètes utiles à la nav, avec la difficulté du changement de référentiel en plus. Pour la Lune c’est plus compliqué car elle est soumise à beaucoup de contraintes et effectue des mouvements plus complexes (problème à trois corps), plus nombreux en un temps plus court.

 

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