Programme ti89 pour se positionner avec des étoiles (partie 2)

Assez insatisfait par mon programme précédent sur le point d’étoiles, j’en ai donc fait un autre plus précis. Il comporte un menu de sélection avec différentes étoiles, classées par constellation. Pour le mettre au point j’ai repris le master en astrophysique déniché sur internet (http://userpages.irap.omp.eu/jleborgne/astrometrie.pdf), sauf que cette fois j’ai pris en considération les corrections au complet (précession, nutation, aberration de Bradley, parallaxe, réfraction, dépression de l’horizon). Pour ajouter une barre de menu j’ai pompé sur la page web suivante : https://openclassrooms.com/courses/creation-de-barres-de-menus-sur-ti89-92-et-v200.

Si vous voulez rajouter des étoiles ou des constellations supplémentaires dans la barre des menus c’est facile il suffit de suivre ce tuto très utile. Pour voir si ça fonctionne j’ai trouvé un pdf sur le net appelé « exercices astro 2016-navigation astronomique ». ça fonctionne pour l’exercice mais il faudra le tester en réel une ou deux fois dans de bonnes conditions à la prochaine navigation pour voir.

Voilà le programme, en espérant ne pas avoir fait de fautes d’étourderies en le recopiant (je me suis relu plusieurs fois ça devrait aller !) :

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Si ça ne fonctionne pas correctement, n’hésitez pas à me laissez un petit message!

Programme TI89 « maison » pour faire le point avec le soleil

Par rapport aux étoiles, c’est quand même plus intéressant de faire le point avec le soleil; la journée en général l’horizon est bien dégagé et facilement perceptible, rendant l’usage du sextant plus commode et précis dans ses résultats, avec une amplitude de temps d’usage plus grande . Comme pour le programme fait avec les étoiles, on va d’abord chercher à « transformer » toutes les données de notre temps de mesure (heures, minutes, secondes, mois, années) en un seul nombre. Ce dernier permettra ensuite le reste des calculs qui ne sont rien d’autre que des fonctions dépendant du facteur temps. Pour ce début de programme on aurait donc pu utiliser le même que pour celui avec les étoiles, mais pour rigoler, cette fois on va tenir compte du calendrier Grégorien, allez hop à la benne le calendrier Julien!

sextant_gps

1) Première partie: calculer le facteur temps selon le calendrier Grégorien

Rappel: dans le calendrier Julien l’année moyenne dure 365.25 jours, donc une année bissextile a lieu tout les 4 ans (2008, 2012, 2016, 2020…). Sur le calendrier cela se traduit par un jour supplémentaire en février tout les 4 ans (29 jours au lieu de 28).

Pour résumer, afin d’avoir une année de calendrier avec une durée plus proche de la réalité, soit la durée d’une année tropique (à peu prêt 365,2422 jours), le procédé de calcul a été amélioré afin de réduire légèrement dans la durée la grandeur d’une année Julienne. En effet dans le calendrier Grégorien une année moyenne dure 365,2425 jours. Pour en arriver là, on garde les caractéristiques du calendrier Julien, mais à chaque année séculaire on ne la considère comme bissextile que si elle est divisible par 400. Pour notre programmation on va donc considérer une année comme bissextile si elle a eu lieu 4 ans après une autre année bissextile. Ensuite pour les années séculaires donc divisibles par 100 on fait le tri et on les acceptera comme bissextiles si elles sont également divisibles par 400. Par exemple d’après le calendrier Grégorien 2000 et 2400 sont bissextiles, mais 2500 et 2600 ne sont pas bissextiles.

Voilà ce que ça donne pour notre début de programme:

programme-ti89-soleil-2

programme-ti89-soleil-1

 

 

On s’aide de la boucle « while » et de la fonction int(). La boucle « while » demande au programme d’effectuer un calcul temps qu’une ou plusieurs conditions n’ont pas été atteintes, et la fonction « int() » ne garde que la partie entière d’un nombre, par exemple int(2.7)=2. Le nombre en fin de page 2457388.5 correspond au jour julien le 01/01/2016 à 00h00.

2) Deuxième partie: calculer à partir du facteur temps la déclinaison et l’angle horaire du soleil.

Comme on l’a vu dans « programmer une ti89 pour la navigation », il existe différentes façon de calculer ces deux paramètres, plus ou moins précises sur une durée plus ou moins longue, avec également plus ou moins de difficultés…Pour avoir des résultats très précis sur une durée très longue, cela demande énormément de paramètres à prendre en conséquence, en plus les astres se comportent de façon chaotique sur des périodes très longues…On va donc pas trop s’emmerder avec tout ça et plutôt fixer des limites selon nos besoins, c’est à dire un programme pertinent à l’échelle d’une vie et assez précis pour faire un point potable en navigation et pas trop alambiqué à programmer!

a) L’angle horaire:

Si on considère les choses de la façon la plus simple, on part du principe que la terre tourne sur elle-même en 24 heures, donnant l’illusion d’un mouvement du soleil autour de la terre se déplaçant à la vitesse de 360°/24H=15° par heure, avec le passage du soleil au méridien de greenwich à 12H UTC. En partant de ce postulat il suffirait d’écrire une formule comme AHG=15*(l*24) pour calculer l’angle horaire à greenwich(AHG), avec comme donnée origine en facteur temps un midi au méridien de greenwich. Pour déterminer notre angle horaire local (AHL), il suffirait simplement de soustraire à AHG notre longitude estimée(G).

Pourtant c’est insuffisant, avec ce fonctionnement simple on se retrouve avec des écarts de plus de 3 degrés par rapport aux véritables données! En fait le mouvement apparent du soleil par rapport à la terre n’a pas une vitesse constante à cause tout d’abord de la forme elliptique de l’orbite terrestre (voir la première et deuxième loi de Kepler), et aussi à cause de l’axe de rotation de la terre incliné sur son orbite. Heureusement, les écarts se répètent de façon quasi identique d’années en années, permettant assez facilement de calculer les bonnes données à chaque fois. Pour cela on va utiliser ce qu’on appelle l’équation du temps. Comme le dit si bien notre copain wikipépé cette équation correspond à un instant donné à la différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai. Le temps solaire moyen c’est le calcul écris dans le paragraphe au-dessus (le soleil se déplace à vitesse constante) et le temps solaire vrai va être calculé grâce aux équations écrites par wikipépé (influence de l’ellipticité de l’orbite terrestre et influence de l’obliquité de la terre). Conformément au début de notre programme ça donne maintenant ça:

programme-ti89-soleil-2

La fonction mod() sert ici à obtenir un résultat toujours compris entre 0 et 360 degrés(cette fonction fournit le reste d’une division euclidienne selon un dividende et un diviseur choisit), sinon on se retrouverait avec des angles énormes qui n’ont pas de sens. On pourrait également utiliser la boucle « for » pour ça mais la calculatrice mettrait plus de temps à calculer. Il y a 180 après mod() car le programme débute à minuit le 1/1/2016 (voir première partie du prog), donc à cette heure l’angle horaire moyen du soleil avec greenwich fait 180 degrés(si le prog avait débuté à midi, on aurait pas rajouté 180 mais rien du tout).

Pour les équations du temps, les coefficients employés sont facilement identifiables:

357.5291=anomalie moyenne le 01/01/2000 à 12h.

0.98560028=c’est la vitesse angulaire de rotation moyenne de la terre autour du soleil entre le passage de 2 périhélies, donc il s’agit de 360 divisé par l’année anomalistique.

2451545=c’est le jour julien du 01/01/2000 à 12h.

1.9148; 0.02; 0.0003=Il s’agit simplement d’un changement des coefficients de l’équation du centre en degrés(il suffit de multiplier les coeff d’origine par 180/π). L’obtention de l’équation du centre est expliquée par wiki.

280.4665=C’est la valeur de la longitude écliptique le 01/01/2000 à 12h.

0.98564736=C’est la vitesse angulaire moyenne de rotation de la terre autour du soleil sur une année tropique, donc on trouve cette valeur en calculant 360/365.2421898.

-2.46569; 0.053; 0.0014=comme pour l’équation du centre il s’agit d’un passage des coefficients de l’équation en degrés.

soleil

b) La déclinaison

Comme on l’a vu dans « programmer une ti89 pour la navigation », il existe plein de façons différentes d’obtenir la déclinaison du soleil; en utilisant des méthodes avec plus ou moins de paramètres, donc plus ou moins de précision et aussi plus ou moins de difficultés à programmer l’ensemble… pas simple. On va donc éliminer des données. On ne tiendra pas compte de l’influence des planètes et de la Lune du système solaire sur nos calculs, seulement des lois de kepler appliquées au système terre/soleil, se sera déjà pas trop mal.

La formule la plus simple pour avoir la déclinaison est celle qui utilise la structure d’une fonction périodique simple (sinus, cosinus) comme celle de Desmond Fletcher:

D=23.45*sin(2π/365(284+j)) avec j jours juliens. Ici 23.45 correspond à l’amplitude de la fonction sinus, donc à la valeur absolue maximale que peut atteindre la déclinaison (aux solstices). 2π/365 correspond à la période de la fonction sinus, ici elle va donc se répéter tout les 365 jours. 284 est un déphasage de la fonction. Cette formule ne tient pas compte de l’ellipticité de l’orbite terrestre et considère son mouvement équivalent à la trajectoire d’un cercle. C’est la méthode la plus simple mais aussi la moins précise.

Pour la déclinaison une autre façon de faire consisterai à écrire une fonction périodique mais par morceaux, chaque morceau correspondant à une saison, donc une fonction en 4 parties (voir « programmer une ti89 pour la navigation »). Cette méthode fonctionne bien, est facile à faire car il suffit de connaitre les dates des solstices et des équinoxes pour l’année à venir, cependant son point faible est qu’elle ne fonctionne que pour une année. En effet d’une année à l’autre les heures de passage aux équinoxes et aux solstices changent en suivant une valeur moyenne, mais en réalité il y a des écarts de quelques minutes, et à la fin le cumul de ses différences provoque…De plus grosses différences!

Sur internet il est facile de trouver des formules pour la déclinaison données par l’IMCCE, fonctionnant à plus ou moins long terme. On peut aussi en déduire une à partir de l’équation du temps car on sait que:

sin(déclinaison)=sin(obliquité de l’écliptique)*sin(longitude vraie du soleil).

En effet, pour le prouver c’est un peu la même démonstration que celle employée avec le triangle rectangle sphérique (permet de trouver les formules pour l’azimut et la hauteur calculée d’un astre), comme j’ai un peu la flemme de la faire pour les curieux c’est très bien expliqué sur la page web suivante : https://sites.google.com/site/astronomievouteceleste/4—mouvement-du-soleil

à partir de tout ça on peut en déduire la formule de la déclinaison à écrire à la suite du début de notre programme:

programme-ti89-soleil-2

Donc pour la déclinaison, 3 lignes de programme seulement suffisent quand on connait AHG. Avant de poursuivre notre prog on va vérifier l’efficacité de tout ça grâce au site de l’IMCCE, histoire de voir si c’est suffisamment précis notre histoire.

Test

En prenant 10 valeurs différentes on obtient ça:

le 15/12/2019 à 14h22 : -23°16’13.91 »/36°44’27.88 »→-23°16’/17h31

le 2/11/2043 à 2h : -14°40’9.90 »/214°6’50.43 »→-14°40’/14h29

le 28/2/2055 à 16h47: -7°47’20 »/68°38’28.54 »→-7°47’/22h46

le 12/5/2128 à 5h06: 18°28’20.7 »/257°22’25.4 »→18°13’/3h18

le 7/07/2184 à 21h12: 22°17’33.11 »/136°34’51.76 »→22°23’/7h12

le 18/10/2079 à 23h10: -9°56’58.8 »/171°15’1.75 »→-9°57/13h35

le 13/6/2046 à 12h11: 23°14’12.71 »/2°42’14.74 »→23°14’/5h28

le 6/09/2033 à 18h55: 6°6’8.13 »/104°12’36.45 »→6°6’/11h03

le 1/03/2085 à 4h22: -7°19’47.17 »/242°27’31.56 »→-7°20’/22h51

le 19/02/2074 à 3h18: -11°10’21.23 »/226°4’8.9 »→-11°10’/22h12

à gauche c’est les résultats du prog en déclinaison et en angle horaire à greenwich, et à droite c’est ceux de la page web « calcul des éphémérides » de l’IMCCE en déclinaison et en ascension droite. A première vue c’est pas mal, on commence à perdre en précision de quelques minutes d’angle après 2080 sur la déclinaison  donc d’ici là on a le temps… On sait que l’ascension droite est l’angle entre le méridien du point vernal et celui d’un astre, mesuré vers l’est et exprimé en heures, et que c’est le complément à 360° de l’ascension verse. Or on a déjà trouvé la formule pour calculer le méridien du point vernal dans le programme pour se positionner avec les étoiles qui est la suivante :

100+5.5/60+(l-2451545-5843.5)*(360/365.2421898+360)-0.0524*16/(24*3600*36525)-0.0524*(l-2451545-5843.5)/(24*3600*36525)=angle point vernal. Donc en le calant à la suite dans notre prog ça donne:

programme-ti89-soleil-3

En refaisant le comparatif avec les ascensions droites trouvées sur l’IMCCE c’est pas mal. On peut dire que jusqu’à environ 2080 c’est précis, après un peu moins. On peut considérer que la partie éphémérides est OK pour la navigation. On va pouvoir passer à la suite c’est cool. Pour cette partie on aurait pu peut-être faire plus précis en intégrant certains des paramètres fixes utilisés en variables comme l’excentricité, la durée de l’année tropique et anomalistique, et l’angle d’inclinaison de la terre sur l’écliptique. Cependant pour nos besoins se sera suffisant je pense.

téléchargement

3) Calcul de l’intercept et de l’azimut vrai

 Maintenant que l’on a la déclinaison et l’angle horaire du soleil calculé à l’instant de la mesure, il va nous rester à définir la hauteur calculée (formule trigonométrique comme pour les étoiles), la hauteur vraie (c’est la hauteur instrumentale à partir de laquelle on va ajouter des corrections), et donc l’intercept et l’azimut vrai du soleil.

Les corrections à ajouter à la hauteur mesurée:

- La réfraction de la lumière (dépend de la hauteur de l’astre sur l’horizon).

- La parallaxe (dépend du rayon de la Terre, la distance Terre/Soleil et la hauteur de l’astre sur l’horizon).

- Le demi-diamètre du Soleil (environ 16 minutes).

- La hauteur de l’oeil d’observation par rapport au niveau de la mer.

- La collimation.

Le programme provisoire donne ça:

programme soleil()-1 programme soleil()-2 programme soleil()-3 programme soleil()-4 programme soleil()-5

Ce programme permet aussi de calculer des méridiennes, il suffit de taper 1 ou 2 si vous êtes dos au sud ou au nord quand vous observez le Soleil.

Attention: test !

J’ai vérifié son fonctionnement avec les pages web navastro (« navastro.free.fr/meridienne.htm » pour faire une méridienne et « navastro.free.fr/exos/exercices.htm » pour les droites de hauteurs). Les résultats diffèrent un peu mais ça reste assez potable et crédible. Un peu déçu, je creuse et remarque une erreur dans le programme du dessus; à la ligne de calcul de l’angle horaire local (ahl) au lieu d’avoir:

: mod(qq-rrr, 360)→ahl en fait c’est :mod(qq+rrr,360)→ahl

Et pour l’intercept au lieu d’avoir:

: hv-hc→in en fait c’est (hv-hc)*60→in

Le programme final qui fonctionne donne donc ça:

programme soleil()-1 programme soleil()-2 programme soleil()-3 programme soleil()-4 programme soleil()-5

En faisant ces modifs, ô miracle cette fois on trouve quasiment les mêmes résultats que navastro! Pfiou bon laissons le capitaine Haddock conclure avec philosophie…

téléchargement (1)

programme TI89 pour se positionner avec des étoiles (partie 1)

Le point d’étoile fonctionne un peu comme un point à trois relèvements avec des amers, sauf que dans ce cas précis les relèvements sont remplacés par des droites de hauteur faites sur des étoiles. Pour que le point d’étoile soit précis il faut si possible utiliser des étoiles les plus éloignées possibles les unes des autres (dans l’idéal avec 120 degrés entre chaque étoile), et effectuer la mesure au sextant peu avant ou après le coucher du soleil pour pouvoir bien distinguer encore la ligne d’horizon. Il faut également éviter de choisir des étoiles trop proches de l’horizon à cause de la réfraction de la lumière (voir loi de Snell-Descartes). C’est difficile lors de l’emploi du sextant de »faire descendre l’étoile sur l’horizon » (on peut facilement confondre une étoile avec une autre à côté), c’est pourquoi il est plus simple de l’utiliser à l’envers (limbe vers le haut), c’est à dire de « faire monter l’horizon sur l’étoile » de son choix. Généralement on ne peut utiliser des étoiles que placées proche du point d’horizon où se couche le soleil, au-delà c’est chaud de bien distinguer de façon nette la ligne d’horizon pour avoir un angle précis.

Pour mettre en place ce petit programme j’ai utilisé en grande partie un mémoire de master en astrométrie (introduction aux coordonnées célestes, astrométrie, Jleborgne) provenant de l’université de Toulouse, trouvable facilement en pdf sur le net, et d’autres trucs glanés ici ou là.

1) Système de coordonnées, définitions, mouvements impliqués

a) Coordonnées célestes

coordonnées célestes

Le système utilise des coordonnées équatoriales; on va situer les astres selon leur position par rapport à l’équateur céleste qui n’est rien d’autre que la projection de l’équateur sur la sphère céleste. En fait c’est presque le même principe que pour se situer sur terre; pour positionner une étoile on va avoir:

-L’ascension droite souvent symbolisée par la lettre alpha, angle mesuré sur l’équateur céleste entre le point Vernal et la perpendiculaire à l’équateur céleste passant par l’objet étudié. Le point d’origine est donc le point Vernal et l’angle se mesure vers l’Est, cet angle s’exprime le plus souvent en heures mais est facilement convertible en degrés (1 heure=15 degrés, 1 degré=60 minutes, 1 minute=60 secondes), en heure elle varie donc de 0 à 24 heures (soit 0 à 360 degrés).

La déclinaison souvent symbolisée par la lettre delta, angle mesuré perpendiculairement entre l’objet étudié et l’équateur céleste. Sa valeur peut monter au max à 90 degrés (-90 au pole sud et 90 au pole nord)et au minimum à 0 degrés (équateur). La déclinaison ressemble beaucoup à la latitude, elle est positive dans l’hémisphère Nord et négative dans l’hémisphère Sud.

-Le point Vernal souvent représenté par gamma ou simplement la lettre g, est un peu plus subtil à se représenter. Sur la sphère céleste l’écliptique (plan comprenant la terre et le soleil) et l’équateur céleste se croisent en deux endroits appelés noeuds, le noeud descendant quand le soleil passe de l’hémisphère Nord au Sud, et le noeud ascendant quand il passe de l’hémisphère Sud au Nord, bref à l’équinoxe de printemps (entre le 19 et le 21 mars).Nous allons voir que ce point de référence n’est pas fixe. En effet les équinoxes se déplacent d’environ 50 » par an le long de l’écliptique vers l’ouest. L’angle horaire du point vernal (ou temps sidéral) se compte à partir du méridien de Greenwich et on l’écrit généralement ahso ou ahgγ. Le point vernal se déplace presque selon une vitesse constante, cette vitesse fait environ 15.04166 degrés. Nous verrons que pour fiabiliser notre programme il va falloir encore plus de précision.

Pour les coordonnées célestes les coordonnées J2000.0 servent de référence, soit les mesures prises le 1er janvier 2000 à midi pile dans le calendrier Grégorien. Si on tape le nom d’une étoile dans wikipédia par exemple, la plupart du temps les coordonnées indiquées à droite de la page sont celles mesurées à J2000.0, pour avoir les bonnes coordonnées selon le moment de la mesure, des corrections à appliquer à ces valeurs sont indispensables.

b) Le calendrier Julien, calendrier Grégorien

Importants à comprendre pour faire notre programme; le calendrier Grégorien est un peu une version customisée du calendrier Julien, l’origine est la même tout comme les divisions en mois et semaines. La différence sera dans le choix des années bissextiles. Pour le calendrier Julien, il y a simplement une année bissextile tout les 4 ans (2008, 2012, 2016…) et pour le calendrier Grégorien, plus précis il y a une année bissextile si d’autres conditions supplémentaires sont réunies. Dans notre cas les caractéristiques du calendrier Julien suffiront. Bref dans le calendrier il y a 12 mois remplis alternativement par 31 (janvier, mars, mai, juillet, août, octobre, décembre) ou 30 jours (avril, juin, septembre, novembre). Exception pour février avec 28 jours pour une année « normale » et 29 jours pour une année bissextile, on arrive donc à 365 jours pour une année classique et 366 jours pour une année bissextile, soit une moyenne annuelle de 365.25 jours avec le calendrier Julien. Cependant cette durée ne colle pas parfaitement avec la durée réelle d’une année…Donc il va falloir bricoler un peu tout ce merdier pour que ça marche à peu prêt ! Un vrai boulot d’horloger stakhanoviste un peu maniaque sur les bords….

c) Qu’entend-t-on par « année » ?

Une année dans le calendrier Julien fait 365.25 jours. Mais il existe d’autres façons de qualifier une année:

-Année sidérale : révolution terrestre rapportée à un repère fixe. Elle dure environ 365 jours, 6 heures, 9 minutes et 10 secondes.

-Année tropique : temps entre deux passages successifs du soleil dans la direction du point vernal. Cette durée va être primordiale pour notre programme, notamment dans le calcul de l’angle horaire du point vernal. Elle dure environ 365 jours, 5 heures, 48 minutes et 45.26 secondes à J2000.0. Pour notre siècle elle décroit d’environ 5.23 secondes.Il y a une formule pour calculer l’année tropique moyenne trouvable un peu partout sur le net, c’est :

Année tropico =365.24219052-61.56*10^(-6)*T-0.068*10^(-6)*T^2+263*10*(-9)*T^3+3.2*10^(-9)*T^4. En 2000 elle vaut 365.2421898 jours et en 2100 elle vaut 365.2421291582 jours. T est le temps écoulé en siècles Juliens depuis J2000.0.

-Année anomalistique : temps entre deux passages successifs de la terre au périhélie. Elle dure à peu prêt 365 jours, 6 heures, 13 minutes et 53 secondes. Le périhélie c’est le moment où la Terre est la plus proche du Soleil (lois de Kepler), donc là où elle se déplace le plus vite.

d) Mouvements influant sur les coordonnées équatoriales

Pour notre plus grand malheur ces coordonnées ne sont pas stables (se serait trop simple), elles vont évoluer selon deux phénomènes cycliques appelés la précession et la nutation. La précession est due aux effets de marée sur la rotation de la terre. C’est un mouvement lent d’une période de 26000 ans environ mais de très grande amplitude car il peut monter jusqu’à 23.5 degrés environ (modifier la déclinaison d’un astre jusqu’à 23.5 degrés). La nutation due également à la marée a une période brève de 18.6 ans avec une amplitude faible comparativement à la précession : 9 secondes seulement. Du coup pour notre programmation, et aussi pour simplifier tout ça on peut négliger la nutation, on y perd un peu en précision mais bon…

On va utiliser ces formules pour le programme :

-Précession générale=p=50.290966+0.0222226T » par an, T temps écoulé en siècles Juliens (36525 jours) depuis J2000.0.

-p=m*cos(E)+n*sin(E), E inclinaison moyenne de l’écliptique (23°26’21.448 » à J2000.0). m est la précession en ascension droite, n est la précession en déclinaison.

-p=5029.0966+2.22226T-0.000042T^2 » par siècle.

-m=4612.4362+2.79312T-0.000278T^2 » par siècle.

-n=2004.3109-0.85330T-0.000217T^2 » par siècle.

La précession donne à la Terre une sorte de mouvement de « balle liftée » par rapport au soleil. Elle provoque également un changement d’étoile polaire; actuellement c’est Polaris qui indique le Nord mais ce ne sera pas éternellement le cas.

d)  autres phénomènes impliquant des corrections

On va y trouver la réfraction atmosphérique bien sûr (loi Snell-Descartes), mais également l’aberration de Bradley, la parallaxe, la hauteur de l’observateur par rapport au niveau de la mer, l’erreur de demi-diamètre de l’astre observé. L’erreur de demi-diamètre de l’astre (voir droite de hauteur) est négligeable car une étoile c’est petit vu de notre position; on peut également ignorer la parallaxe en raison de l’éloignement important des étoiles, donc de sa valeur infime ici. On peut aussi s’en tamponner de l’aberration de Bradley…Heureusement on va quand même tenir compte du reste histoire que ça fonctionne un minimum !

Aberration de Bradley : ce phénomène existe à cause de la vitesse finie de la lumière (environ 300000 km/s dans le vide) et de la rotation de la terre autour du Soleil (environ 30 km/s, varie selon sa trajectoire elliptique). Cela provoque en une année une légère rotation de toutes les étoiles autour de leur « point moyen » sur la voûte céleste; en fait l’étoile n’est pas fixe mais tourne autour d’un tout petit cercle ou une ellipse. La différence entre la position moyenne et apparente de l’étoile est de 20.5 secondes… Ce qui est relativement peu donc pour le programme on peut s’en balancer.

aberration bradley

Cette différence entre position moyenne et apparente s’explique avec la formule présente dans le schéma ci-dessus : tan(alpha)=v/c ; or sur terre v=30 km/s environ et c=300000 km/s. Donc tan(alpha)=0.0001, donc alpha=0.00573°=20.6265 ».

Anecdotes :

.c’est difficile de se représenter ce phénomène mentalement, et comme on dit « un schéma synthétique vaut toujours bien mieux qu’un long discours un peu chiant », une analogie de situation peut-être bien pratique. Il y a l’analogie de Bradley lui même grâce à sa pratique de la voile sur la Tamise en observant un drapeau : ce dernier n’est ni dans le sens du vent, ni dans le sens de direction du bateau mais dans la composante vectorielle des 2. C’est pareil pour la position de l’étoile résultant de la composante vitesse de la Terre autour du Soleil avec la vitesse de la lumière.

. La parallaxe est utilisée comme outil pour savoir approximativement les distances d’éloignement de certains astres. Pour les étoiles les plus proches du système solaire la valeur de la parallaxe ne dépasse pas 1 seconde d’arc…Du coup on va pas trop s’embêter avec ça hein.

La correction de la réfraction atmosphérique varie selon la pression atmosphérique et la température ; sur wikipédia on nous donne une formule à employer quand on est au niveau de la mer, à pression atmosphérique constante de 1010 mbars avec une température de 10 °C. Cette formule, semblable d’ailleurs à celle du mémoire (c’est la même mais simplifiée) est la suivante :

R=(1.02/tan(Hv+10.3/(Hv+5.11)))/60 ; R est l’angle de réfraction en degrés, Hv est la hauteur vraie en mètres.

 La dépression apparente de l’horizon, due à la hauteur de l’observation par rapport au niveau de la mer est trouvable sur plusieurs pages du web avec la formule suivante :

D=(1.77*√(E))/60 , D abaissement de l’horizon en degrés et E élévation de l’oeil en mètres.

e) Comment mesurer la hauteur d’une étoile ?

C’est le même principe que la droite de hauteur avec le Soleil. C’est l’angle horaire du point vernal qu’il faut utiliser, il va nous permettre de déterminer l’angle horaire local ahl de l’étoile :

ahl = ahgy – g + AV (g est la longitude du point estimé e, AV est l’ascension verse).

L’ascension verse est l’angle entre le méridien du point vernal et celui d’un astre mesuré comme un angle horaire, vers l’ouest et sur 360 degrés; elle est utilisée en nav astro pour situer une étoile.

L’ascension droite est l’angle entre le méridien du point vernal et celui d’un astre, mesuré vers l’Est et exprimé en heures. C’est le complément à 360 degrés de l’ascension verse. Par exemple l’ascension verse en janvier 2016 pour Bételgeuse est de 270.985 degrés. Donc l’ascension droite sera égale à 360-270.985=89.015 degrés. En général quand on cherche la position d’une étoile sur le net elle est donnée en déclinaison et ascension droite, à J2000.0.

droite5Comme pour la droite de hauteur avec le soleil (voir droite de hauteur), les formules à intégrer pour les calculs sont les suivantes :

-sin (hc) = sin (L) * sin (D) + cos (L) * cos (D) * cos (AHL) ; hc est la hauteur calculée de l’astre, L la latitude du point estimé e, D la déclinaison de l’astre, et AHL c’est l’angle horaire local.

-cos (z^) = (sin (D) – sin (L) * sin (hc)) / (cos (L) * cos (hc)).

– Le relèvement calculé de l’astre est égal à z^ si 180°≤AHL<360°, et à 360-z^ si 0≤AHL<180°.

-L’intercept est la différence entre la hauteur vraie de l’étoile mesurée au sextant, et la hauteur calculée de l’étoile. Intercept = hv-hc. L’intercept s’exprime en milles.

Pour ceux qui sont toujours là et qui s’accrochent malgré tout, une petit aparté spirituel avant d’attaquer la suite :

croissant-et-chausson (Copier)

 

2) Notre programme

dubhé 1 (Copier)dubhé 2 (Copier)

 

 

Ce programme marche pour l’étoile Dubhé de la constellation de la Grande Ourse, mais il fonctionne également pour n’importe quelle étoile. Il suffit de remplacer les valeurs t (ascension droite de l’étoile le 01/01/16 à 00h00 utc) et  u ( déclinaison de l’étoile le 01/01/16 à 00h00 utc). Ce programme marche à partir du 01/01/2016 à 00h00 utc jusqu’à l’année 2100 qui n’est pas bissextile (mais que ce programme intègre comme telle, ce qui est faux).

1) partie 1, transformer la date et l’heure en un seul nombre exploitable (ligne 1/ligne 36).

Jusqu’à la ligne se terminant par , g (ligne 36), le programme va changer l’heure, les minutes, secondes, mois et année de la mesure en un seul nombre décimal qui dans le programme se nomme g. Pour déterminer les années bissextiles on utilise une fonction cosinus (une fonction périodique sinus aurait pu tout aussi bien faire l’affaire); cette fonction sera égale à 1 tout les 4 ans. Quand cette fonction ici appelée i = 1, on peut voir que e (nombre de jours selon les mois) change. La partie avec les « elseif » détermine le nombre de jours écoulés dans les mois depuis le 01/01 de l’année de la mesure jusqu’à l’instant de la mesure.

int(365.25*f) détermine le nombre d’année cumulées entre l’instant de la mesure  et le 01/01/2016. int() est une fonction qui ne garde que la partie entière d’un nombre, par exemple int(17.8)=17.

La ligne 35 réduit tout les paramètres de temps à la même unité (le jour), ils sont additionnés pour obtenir g. 2457388.5 (=2451545+5843.5) est le jour julien le 01/01/16 à 00h00.

2) partie 2, déterminer l’angle horaire du point vernal (ligne 37/ligne 45).

Ligne 37, 100+5.5/60 est l’angle horaire du point vernal ahso le 01/01/16 à 00h00 utc.

Aux lignes 37 et 38, grâce à g, on calcule ahso au moment de la mesure en décimal. On sait que le point vernal effectue en 24 heures plus de 360 degrés; pour avoir sa vitesse moyenne précise il suffit de diviser la distance effectuée (360 degrés de révolution entre 2 équinoxes successives en 1 an) par la durée mise par le point vernal. Cette durée correspond à l’année tropique moyenne longue de 365.2421898 jours. Donc (360/(365.2421898)+360)/24=15.0410686… Soit la vitesse moyenne environ du point vernal par heure (pour l’année 2000. Elle diminue très légèrement chaque année).

La durée de l’année tropique moyenne diminue actuellement environ de 5,24 secondes par siècle, -0.0524*16/(24*3600*36525) est donc le calcul de cette diminution de temps entre le 01/01/16 et 2016.

-0.0524*(g-2451545-5843.5)/(24*3600*36525) est le calcul de cette diminution de temps entre 2016 et l’instant de la mesure.

Entre les lignes 38 et 43, le programme donne la valeur de z (ahso) correcte, car avant ce passage z va rapidement être supérieur à 360.

z>DMS transforme les données décimales de z en données sexagésimales (degrés, minutes, secondes).

3) Partie 3, (ligne 46/ligne 76) calcul du relèvement calculé et de l’intercept.

Au début de cette étape on change les données sexagésimales du point estimé et de l’angle mesuré en donnée décimales exploitables pour les calculs. Dans le programme j’aurai aussi pu intégrer la collimation et l’excentricité du sextant employé mais je l’ai pas fait (c’est un mack 3…). Lignes 56 et 57 ce sont respectivement l’ascension droite puis la déclinaison de l’étoile Dubhé le 01/01/16. Ligne 58 à 61 on utilise les équations de la précession pour obtenir les coordonnées céleste de Dubhé à l’instant de la mesure. La ligne 62 calcule l’ascension verse de l’étoile au moment de la mesure, et…Et allez hop pour les irréductibles encore présent, petite pause contemplative ils le méritent bien ! (si ça peut en plus attirer plus de visiteurs sur le blog…)

beach-boat-fashion-girl-Favim.com-3934943 (Copier)

 

 

Alors on en était où… Ha oui ;

Le reste du programme reprend les formules vues au début. La fonction If utilisée entre la ligne 70 et la ligne 72 détermine l’azimut vrai. Et maintenant, utilisation test !

3) Test

Pour faire un point d’étoiles réussi on a besoin de plusieurs ingrédients :

-Un horizon clair et dégagé.

-Une montre bien calée sur l’heure du méridien de Greenwich.

-Une TI89, une calculatrice programmable ou des éphémérides.

-Un sextant ou un truc pour mesurer la hauteur des astres.

-Une carte hauturière.

Pour ma part le jour de la mesure l’horizon n’était pas très net, et j’ai utilisé un vieux sextant mack 3 pour la faire du coup ça manque quand même un peu de précision. En plus la mesure s’est faite sur la Manche, donc la différence de hauteur d’eau due à la marée a pu aussi jouer sur cette précision.

Les conditions m’on permis d’effectuer 3 mesures, une sur Dubhé, une sur l’étoile polaire et une autre sur Alkaid (le bout du manche de la casserole sur la grande ourse). On reste donc malheureusement sur 3 étoiles très proches, mais ça donne déjà une petite idée malgré tout. Le point estimé e (choisit arbitrairement sur la carte) utilisé est de latitude 49°50′ Nord, et de longitude 1°5′ Est. Donc les coordonnées de e sont positives (latitude négative si Sud, longitude négative si Ouest).

Résultats:

.Pour Dubhé, la hauteur vraie est de 35°52′ relevée à 22h 32 min 52 secondes (heure locale, donc en UTC on enlève 2 heures) le 15/08/16. Le programme calcule ce résultat :

relèvement calculé = 325.5° ; intercept = -22.423 miles.

.Pour Polaris, la hauteur vraie est de 48°46′ relevée à 22h 35 min 2 secondes. Du coup on obtient :

relèvement calculé =359.007° ; intercept=-47.113 miles.

.Pour Alkaid, la hauteur vraie est de 44°31′ relevée à 22h 28 min 42 secondes. Donc ça donne :

relèvement calculé= 299.38 ° ; intercept=49.285 miles.

Donc en utilisant la carte, on part du point estimé e, puis pour chaque relevé on trace l’intercept ; du point e vers l’étoile si ce dernier est positif, et du point e vers la direction opposée à l’étoile si l’intercept est négatif. On peut ensuite tracer les droites de hauteur qui sont perpendiculaires aux intercepts afin de définir un triangle de positionnement. Alors le point obtenu nous situe environ à 80 km au sud de Fécamp (ma carte routière était trop petite pour tracer convenablement les droites  de hauteur)… Alors que les mesures ont été prises à Pourville près de Dieppe… Il faudrait refaire un point d’étoile avec un horizon plus net et un sextant à tambour peut-être, avec des étoiles bien distancées également.

Ce petit programme fonctionne bien pour corriger les coordonnées célestes des étoiles, pour l’angle horaire du point vernal il est précis à 1° prêt (ça fait une marge d’erreur de 0.3 % environ). Il se base sur une année tropique moyenne or elle change tout les ans selon un nombre important de paramètres tels que la vitesse de la Terre autour du Soleil qui change au périhélie et à l’aphélie avec les lois de Kepler, l’influence de la Lune et des autres planètes également. Autrement dit en réalité la vitesse du point vernal n’est pas complètement uniforme mais varie un peu.

Pour améliorer ce programme on pourrait inclure la collimation, l’excentricité du sextant, également faire en sorte d’avoir directement les coordonnées des points d’intersections des droites de hauteurs à voir…Pourquoi pas améliorer la précision du point vernal et tenir compte de la nutation, Bradley,l’âge du capitaine…

 

programmer une TI 89 (calculatrice) pour la navigation

Un truc  pratique pour éviter de galérer avec les calculs à faire pour la navigation, surtout quand la mer bouge et qu’on a une choucroute plus ou moins bien calée dans le bide qui ne demande qu’à sortir, probablement sur la carte pour dessiner une nouvelle île, ou alors dans la descente : programmer à l’avance une calculatrice, on économise le temps passé à l’intérieur du bateau, c’est moins chiant et en général on s’épargne plus facilement des relents pénibles.

Sur internet l’almanach du marin breton a publié des programmes à intégrer dans une TI83 pour la droite de hauteur, l’amplitude lever/coucher du soleil, et les arcs capables. Pour une TI89 ces programmes fonctionnent très bien, il y a juste une ou deux petites modifications à faire:

Sur le fichier, le symbole E n’a rien à voir avec la fonction exponentielle. C’est une sorte d’abréviation de l’écriture scientifique : E^2=100, E^3=1000…Et quand on tape ce symbole on ne note pas le ^ sur la calculette. Dans un programme il faut toujours à chaque fois indiquer la fin de la fonction « IF » par un « ENDIF » sinon la calculatrice va marquer « erreur syntaxe » un truc dans le genre. C’est pourquoi à la ligne 2 du paragraphe « mécanique céleste dans calendrier julien » la phrase ne se termine pas par « End » mais « Endif ». Dans le programme pour obtenir l’amplitude lever/coucher du soleil il faut rajouter les « Endif » manquants pour qu’il fonctionne.

En regardant un peu ces programmes, on peut en déduire d’autres comme la méridienne, la distance orthodromique, l’angle orthodromique, le calcul de sa distance par rapport à un amer de hauteur connue:

0001 (Copier)

0002 (Copier)

Pour le calcul de la déclinaison solaire, le programme du marin breton tient compte du mouvement elliptique de la rotation de la terre autour du soleil (partie: « mécanique céleste dans le calendrier julien ») qui influe sur l’évolution de la déclinaison le long de l’année, et part d’un point précis de localisation du soleil dans le temps. Cependant il existe une formule simplifiée pour déterminer la déclinaison du soleil ne tenant pas compte de tout ça et qui considère la trajectoire de l’orbite terrestre comme parfaitement circulaire (en réalité elle est quasiment circulaire, sa forme elliptique est vraiment très peu prononcée avec une excentricité de l’ellipse égale environ à 0.017. L’excentricité d’un cercle est de 0 pour se faire une idée). Cette formule, moins précise que celle exposée au début, est quand même bien pratique tout en étant aussi beaucoup plus simple!

Déclinaison=(23+26/60)*sin((360/365.256363)*(284+J))

Cette formule nous permet de faire un petit programme pour trouver une déclinaison solaire selon le jour, le mois, l’heure (pour l’année 2015 en la comparant au programme du marin breton la différence ne dépasse pas 1 degré vers mi octobre, pour le reste c’est assez précis) sans avoir à bord les éphémérides. Un second programme inspiré du premier permet d’avoir un calcul encore plus précis (on tient alors compte de l’ellipse) :

0001 (Copier)

0002 (Copier)

0003 (Copier)

Pour ces formules de la déclinaison on utilise une fonction sinus car si on met les jours de l’année en abscisse et les valeurs possibles de la déclinaison à l’année, sa forme représente le plus possible le phénomène. Avec une fonction cosinus se serait possible peut-être je pense j’ai pas essayé. Pour les paramètres d’une fonction sinus, c’est à dire comment la bidouiller pour changer sa période, son amplitude son point de départ c’est assez simple : on va prendre cet exemple : A*sin(B(x-H)). Le paramètre A règle l’amplitude de la fonction (valeur maxi et mini qu’elle peut atteindre), B règle la période car la période de la fonction sinus est égale à 360/B ( valeur absolue). Enfin le paramètre H règle le déphasage, par exemple la fonction y=sin x est une fonction impaire ayant pour centre de symétrie l’origine o, donc si x=0 alors y=0. Si maintenant on pose y=sin (x-3), alors y=o si x=3 donc on aura décalé la fonction sinus de 3 vers la droite sur les abscisses, on l’aura déphasé de 3 quoi.

 

Fabriquer un sextant pour que dalle

Pour s’initier à la navigation astronomique, on pense qu’il est indispensable d’acheter un sextant. Le premier prix pour cet instrument est le mark 3 qui coûte une soixantaine d’euros. Pour avoir des mesures plus précises de sa position, le tarif devient par la suite rapidement exponentiel…et inversement proportionnel à la motivation d’apprendre qui peut vite décliner. C’est vrai, pourquoi s’embêter à dépenser de l’argent et faire des calculs alors qu’avec le même prix on peut s’offrir un gps de bonne qualité? La petite méthode suivante permet non seulement de ne pas débourser plus de dix euros, mais en plus elle permet de mesurer des hauteurs d’étoiles sans avoir besoin de pouvoir distinguer l’horizon.

1)Matériel

Il suffit d’avoir sous la main un simple rapporteur en plastique, un fil long (un mètre, un mètre cinquante)et fin, un truc qui fait lest(un ou plusieurs gros écrous par exemple)et un morceau de bois ou de plastique long, bien droit et de section carrée. Un petit tube de colle forte nous permettra de coller le rapporteur et la pièce en bois ou plastique de la façon suivante:

sextant brico (Copier)

Il faut bien faire attention à coller le bord droit du rapporteur bien parallèle au morceau de bois.

Ensuite on fait passer le fil dans le petit trou central du rapporteur, on fait un nœud d’arrêt tout bête et au bout du fil on attache le lest(pour la photo j’ai mis une clé, tant qu’il y a un peu de poids le reste n’a pas d’importance).

sextant brico2 (Copier)

Ayé finit! On l’utilise de la façon suivante:

sextantbricolo

Plus le bout de bois est long, droit, et plus le fil est fin et le lest lourd, plus on gagne en précision. On peut aussi installer l’ensemble sur un trépied avec un axe pivotant pour rendre la lecture encore plus précise sans les tremblements pendant la mesure.

La mesure de la hauteur de l’astre se fait en retirant 90° de X:

sextantbricoli

2)Avantages/inconvénients

Cette méthode présente le net avantage de mesurer la hauteur d’un astre sans avoir besoin de distinguer l’horizon, on peut donc s’exercer en ville par exemple, la vue de l’étoile suffit. Par contre à bord d’un bateau la mer doit être d’huile et le bateau à l’arrêt pour l’utiliser, sinon le lest bouge et on ne pourra pas mesurer la hauteur.

La droite de hauteur

La méridienne est facile à mettre en place et ne nécessite pas beaucoup de calculs, par contre la droite de hauteur c’est un peu l’usine à gaz si on loupe une étape. Cependant cette méthode présente un avantage par rapport à la méridienne: on peut déterminer sa position à tout moment de la journée, il suffit de faire deux observations de la hauteur du soleil(au moins deux heures d’écart pour plus de précision). En cas de ciel partiellement couvert, la méthode de la droite de hauteur est une bonne alternative si à midi local le soleil se cache derrière les nuages.

1)Principe

La mesure d’une hauteur du soleil à un moment de la journée nous positionne sur un cercle à la surface du globe:

droite

Ce cercle C, lorsque l’on est dessus nous fait voir le soleil sous une hauteur précise. Cette hauteur appelée hauteur calculée(Hc) se calcule, elle dépend de notre position(que l’on estime, par exemple en prenant comme point estimé le dernier fait dans le livre de bord)et du moment de la journée(le pied de l’astre n’aura pas la même position)où l’on mesure Hv. Ensuite on compare Hc à Hv, la hauteur vraie c’est à dire celle mesurée par le sextant. Si Hv>Hc, alors on reporte le point vers le soleil, sinon c’est l’inverse. La différence entre Hv et Hc est l’intercept.

Pour la droite de hauteur il y a des conditions limites:

20°<Hv<80°

Intercept<30 Miles

-60°<latitude d’observation<60°

Sur la carte, Le cercle C où l’on voit le soleil sous la hauteur calculée se trace sous forme de droite car sur le globe c’est un grand cercle pouvant être réduit à l’état de droite sur une carte de moindre échelle. Le véritable cercle où l’on est(celui où l’on observe le soleil avec la hauteur Hv)se trouve grâce à l’intercept appelons le C2. C2 se matérialise aussi en droite, c’est la droite de hauteur.

droite2

I est l’intercept, en fait on fait un transfert de droite. Si Hv>Hc, on translate la droite C vers le soleil sous la forme de la droite C2, sinon c’est l’inverse. En pratique on ne trace pas C, l’intercept se trace à partir du point estimé sur la carte.

Donc pour une seule observation/mesure de la hauteur du soleil à un moment de la journée, nous pouvons nous positionner sur une droite. Pour avoir une position en latitude/longitude il va falloir faire une deuxième observation. Quand on aura tracé cette deuxième droite de hauteur qui en découle il suffira de translater C2 selon notre route fond entre les deux observations, l’intersection finale nous donnera notre position au moment de la deuxième observation.

2)Le vif du sujet

Le calcul de Hc demande un peu de trigonométrie(voir trigo) et un soupçon de produits scalaires, le mieux est de rentrer la formule dans une calculatrice programmable style ti89. Sinon la méthode pour la retrouver est la suivante: on considère le globe terrestre comme une sphère de rayon 1, et incluse dans un repère cartésien où l’origine est le centre de cette sphère(non non, n’allumez pas encore le gps ça va le faire!). B est notre position estimée, A est la position du pied de l’astre calculée au moment de la mesure de Hv, P est le Pôle Nord.
droite3

On obtient trois segments sphériques a, b et c. a=90°-D(déclinaison du soleil à l’instant de mesure de Hv), b=90°-Le(latitude de notre point estimé), c=90°-Hc.

AHL=AHG-G(angle horaire du soleil, angle entre le pied de l’astre et Greenwich, moins la longitude de notre point estimé).

Le but du jeu va être de mettre tout ça en équation pour déterminer Hc. Pour cela on va faire un produit scalaire des vecteurs 0A et OB(pfffiouuuuu…..).

droite4

On va utiliser notre repère cartésien pour définir ces vecteurs.

0A: Sur l’axe des X, OA=0. Sur l’axe des Y, OA= sin(a) et sur l’axe des Z OA=cos(a).

0B: Sur l’axe des X, OB=sin(b)*sin(AHL), sur l’axe des Y OB=sin(b)*cos(AHL) et sur l’axe des Z OB=cos(b).

Le produit scalaire de deux vecteurs dans un repère cartésien se fait en multipliant leurs coordonnées que l’on additionne, soit OA(X,Y,Z) et OB(X’,Y’,Z’):

XX’+YY’+ZZ’=0+sin(a)*sin(b)*cos(AHL)+cos(a)*cos(b)

On trouve aussi le produit scalaire en multipliant la norme des deux vecteurs par le cosinus de l’angle entre les deux(n’oublions pas que 0A=OB=1):

OA*OB*cos(c)=1*1*cos(c)=cos(c)

Conclusion: cos(c)=sin(a)*sin(b)*cos(AHL)+cos(a)*cos(b), donc:

cos(90°-Hc)=sin(90°-D)*sin(90°-Le)*cos(AHL)+cos(90°-D)*cos(90°-Le), donc:

sin(Hc)=cos(D)*cos(Le)*cos(AHL)+sin(D)*sin(Le)

Voilà pourquoi il vaut mieux noter directement la formule quelques parts…faire ça à la table à carte dans une mer mouvementée, après avoir mangé un cassoulet bien fournit, ça peut devenir un peu difficile!

Les ennuis ne sont pas terminés, nous avons Hv, Hc donc nous avons notre intercept. C’est bien gentil, mais comment tracer notre droite C sur la carte? il nous manque une donnée, l’azimut. L’azimut est l’angle entre le vertical du pôle Nord et le vertical de l’astre. On l’appelle Z(en gros c’est le relèvement exact du soleil par rapport à notre lieu d’observation). Pour le trouver on calcule d’abord Z’.

droite5

Pour trouver l’angle Z’ on reprend la formule vue un peu auparavant(formule de permutation circulaire): cos(c)=sin(a)*sin(b)*cos(AHL)+cos(a)*cos(b). Ce qui nous intéresse c’est l’angle Z’, donc: cos(a)=sin(b)*sin(c)*cos(Z’)+cos(c)*cos(b)

donc, cos(90-D)=sin(90-Le)*sin(90-Hc)*cos(Z’)+cos(90-Hc)*cos(90-Le), et du coup:

sin(D)=cos(Le)*cos(Hc)*cos(Z’)+sin(Hc)*sin(Le) et au final cos(Z’)=(sin(D)-sin(Le)*sin(Hc))/(cos(Le)*cos(Hc))

Une fois Z’ déterminé, pour trouver Z(le vrai azimut, soit le relèvement calculé du soleil)c’est simple:

Z=Z’ si c’est le matin(si le soleil est à l’Est), et Z=360°-Z’ si c’est l’aprèm(si le soleil est à l’Ouest).

Dès que l’on a l’intercept et l’azimut vrai, on peut alors tracer notre droite de hauteur à partir de notre point estimé de départ. L’azimut qui est le relèvement calculé du soleil nous donne la direction pour tracer l’intercept(intercept sera perpendiculaire à la droite de hauteur), l’intercept nous donne la distance entre la droite de hauteur et le point estimé, et aussi de quel côté on tracera la droite par rapport au point(vers le soleil, en s’éloignant du soleil).

droite6

Dans l’exemple, Pe est le point estimé de départ, Zv est l’azimut vrai. Dans ce cas ci Hv<Hc, c’est pourquoi l’intercept est de sens opposé au soleil.

Le mieux pour cette méthode est d’avoir une calculatrice programmable style texas instrument(ti89 c’est bien), pendant un temps l’almanach du marin breton incluait une feuille de programme à rentrer dans la calculette et bien pratique malgré deux ou trois erreurs à corriger. Je crois qu’il existe aussi des calculettes spéciales astro conçues pour ça. Le marin breton explique très bien cette méthode.

La méridienne

Cette technique de navigation permet de se positionner à l’aide du sextant, d’une calculatrice, d’un chronomètre et de papier millimétré. Elle demande cependant des conditions particulières:

.Avoir le ciel et l’horyzon bien dégagé(sans blague…)à l’heure de passage du soleil au méridien local. Le moment où le soleil sera le plus haut dans le ciel(une demi heure avant jusqu’à une demi heure après)en fait.

.L’angle entre le soleil et l’horyzon(la hauteur vraie Hv)doit être compris entre 20° et 80°, sinon on augmente l’imprécision à cause de la réfraction de la lumière(voir loi de Snell-Descartes). Plus les rayons de lumière traversent une couche d’atmosphère importante, plus ils vont avoir de chance d’être déviés, or plus Hv est petit, plus la couche à traverser augmente.

1)Le sextant

Contrairement à ses prédécesseurs(kamal, astrolabe), son jeu de miroirs qui réfléchit la lumière permet d’avoir un calcul de Hv bien plus précis, non perturbé par les mouvements de la mer. Le sextant peut s’identifier à une sorte de rapporteur capable de mesurer un angle(l’angle Soleil/observateur/horyzon).

méridienne

La verticale du fil à plomb indique la hauteur Hv de l’astre. Evidemment en mer avec le mouvement des vagues c’est moins efficace!

Un sextant se présente de la façon suivante:

970px-Marine_sextant_fr_svg

Le grand miroir renvoie la lumière sur le petit miroir. Le petit miroir est fixe et le grand est solidaire de l’alidade. Dans la lunette on doit voir le bas de l’astre aligné sur l’horyzon, du coup pour cela on bouge l’alidade. On bouge donc le grand miroir de façon à obtenir cet alignement. Il suffit de lire ensuite la hauteur trouvée sur le limbe. La hauteur lue ici est la hauteur instrumentale, pour avoir la hauteur vraie il y a des modifications à apporter qu’on verra après. Les sextants les moins perfectionnés n’ont pas de tambour mais un vernier à la place(mack 3), la mesure se lit comme sur un pied à coulisse dans ce cas. On trouve des sextants à tout les prix, en plastique, en laiton…plus c’est cher et plus on y gagne en précision de mesure.

2)Méthode

Tout d’abord on règle sa montre le plus précisément possible à l’heure U.T(heure au méridien de Greenwich). Le mieux est d’en avoir une au préalable toujours réglée sur cette heure. Il va falloir ensuite déterminer à peu près l’heure de passage du soleil au zénith de l’endroit où l’on se trouve. La méthode la plus simple consiste à prendre le compas de relèvement et relever le Soleil. En effet, on sait que le soleil indique le Sud quand il est au zénith local(hémisphère Nord)et le Nord dans l’hémisphère Sud. Quand le relèvement indiqué se rapproche de plus en plus de 180°(hémisphère Nord), on commence à faire des mesures de hauteur à intervalles régulier.

méridienne2

 à chaque mesure de la hauteur on note la hauteur instrumentale et l’heure exacte qui lui correspond.

 

 

 

Quand le Soleil arrive au zénith, la hauteur ne varie plus et il va se stabiliser pendant un moment. Quand il est stable on règle à l’avance le sextant sur la dernière mesure observée quand le soleil était encore ascendant. Ensuite on regarde par la lunette du sextant le soleil, on va le voir progressivement descendre, en même temps on déclenche le chronomètre(noter l’heure U.T au moment où on le déclenche). Au moment où l’on voit le bord inférieur du Soleil « toucher » l’horizon, on stoppe le chrono, on déduit U.T trouvée à ce moment, et on la note. On refait pareil pour l’avant dernière hauteur mesurée quand le soleil montait, etc…

La hauteur du Soleil à son zénith est facile à déterminer car l’astre marque un temps d’arrêt à ce moment là. C’est cette hauteur qui va nous permettre de trouver notre latitude, en revanche tout le bidouillage vu en haut va nous aider à déterminer notre longitude.

Déterminer la hauteur vraie Hv

La hauteur instrumentale indiquée par le limbe de notre sextant n’est pas exactement la hauteur vraie, il faut y ajouter des corrections pour obtenir Hv. Il y a la collimation(ou erreur instrumentale, elle est indiquée dans le boîtier du sextant), les quatre corrections d’angles(voir corrections d’angle)que l’on trouve dans les éphémérides et la correction calendaire pour le Soleil(change tout les mois, visible aussi dans les éphémérides). La différence entre la hauteur instrumentale et la hauteur vraie n’est pas énorme, mais plus c’est précis, mieux c’est!

Déterminer la latitude

On prend Hv quand le Soleil était culminant, et on calcule Dz. C’est facile, Dz=90°-Hv. La latitude est alors facile à déterminer, L=D+/-(90°-Hv). C’est + si l’observation se fait pôle Nord dans le dos, et – avec le pôle Sud dans le dos(D est la déclinaison du Soleil au moment de la mesure, voir « la sphère céleste »).

Déterminer la longitude

La longitude se trouve en théorie facilement; avec la rotation de la terre le Soleil se déplace d’Est en Ouest autour du globe(référentiel terrestre)à une vitesse d’environ 15°/heure(la terre tourne sur elle même en 24 heures et a une circonférence de 360°). Donc en sachant l’heure exacte à laquelle le Soleil est au zénith, et connaissant l’heure U.T on peut facilement la déterminer. Or quand on regarde le Soleil il marque un temps d’arrêt quand il culmine, donc il est difficile de trouver une longitude précise. Pour la trouver on reprend le petit graphique que l’on a fait au début, celui où l’on a noté chaque mesure de hauteur prise avec l’heure correspondante quand le soleil montait, et quand il descendait. On prend une mesure d’angle(de préférence la moins proche du zénith pour être plus précis), et les heures correspondantes(disons T1 et T2) à l’instant de la montée et de la descente pour cette même mesure de hauteur. L’heure de culmination du Soleil est alors égale à T= (T1+T2)/2. Notre longitude se calcule alors de la façon suivante: longitude=(T-Tpass)*15°/heure(les éphémérides indiquent la vitesse de passage du soleil qui peut varier légèrement selon la date, voir V dans « la sphère céleste »). Tpass est l’heure de passage du soleil au méridien de Greenwich.

Remarque: utiliser les filtres coloré du sextant pour ne pas s’abîmer les yeux. On peut au fur et à mesure de l’observation enlever progressivement quelques filtres pour avoir une vision plus nette des bords du soleil. Le meilleur endroit pour effectuer les mesures se trouve près du mât, c’est là où l’on trouve un peu de stabilité si on est remué par les vagues.

Remarque: La collimation peut aussi se déterminer en observant simplement à travers la lunette l’horizon, en alignant juste l’image de l’horizon dans la lunette et en regardant la mesure correspondante sur le limbe, on obtient cette erreur instrumentale.

 

 

 

La sphère céleste

Autrefois on pensait la sphère céleste comme une sphère solide où les étoiles étaient accrochées, et qui tournait autour de la terre qu’elle contenait un peu comme des poupées russes. On sait maintenant que cette sphère n’existe pas, et que le mouvement des corps célestes dans le ciel d’Est en Ouest est dû à la rotation de la terre sur elle-même. On va quand même garder le concept de sphère pour se situer dans le ciel.

1)Les lignes célestes

Elles correspondent aux lignes placées sur le globe terrestre, ce n’est que leur projection. L’équateur céleste est la projection dans le ciel de l’équateur terrestre, pour les pôles célestes c’est le même principe. L’écliptique de la sphère céleste est le trajet apparent du soleil dans sa course annuelle.

sphère

Comme on a pu le voir dans le petit paragraphe « se positionner et s’orienter sans gps ni calculatrice », la course du soleil en un an oscille entre le tropique du cancer et du capricorne environ(23°26’N le 21 juin, 23°26’S le 22 décembre). Pour un observateur à Paris cela se traduit par un soleil plus haut sur l’horyzon en été qu’en hiver, l’écliptique est mobile le long de l’année et est la cause principale des saisons, des journées plus ou moins longues.

2)Repères utilisés

La déclinaison d’un astre(étoile, soleil…) correspond à sa latitude sur la sphère terrestre. L’ascension droite  correspond à sa longitude. Ces coordonnées sont prises à partir du pied de l’astre, point d’intersection entre la droite qui passe au centre de la terre et de l’astre, et la tangente à la sphère.

sphère2

La déclinaison va de 90° Sud à 90° Nord en passant par l’équateur(O°). Les valeurs Nord sont précédées par un + et les valeurs Sud -. L’ascension droite tourne le long de l’équateur céleste dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, on la compte en heures, minutes, secondes.

3)Pour la navigation

Pour la navigation, le terme ascension droite change, on parle plutôt d’angle horaire. Cet angle est celui entre le méridien d’origine(Greenwich)et le cercle horaire de l’astre.

sphère3

On trouve les coordonnées célestes du soleil, de la lune, de pleins d’étoiles et des planètes sur les éphémérides nautiques. Pour tout les jours et les heures de l’année on peut savoir la position d’un astre.

4)Les éphémérides

.Le soleil

ça se présente comme ça:

sphère4

Les éphémérides sont basées sur l’heure au méridien de Greenwich(U.T). La petite lettre d est la variation de la déclinaison par heure, AHv0 est l’angle horaire du soleil à 0 heures U.T, V est la vitesse angulaire de la rotation de la terre par rapport au soleil(environ 15°/heure en moyenne), T pass est l’heure de passage(U.T) du soleil au méridien de Greenwich. La déclinaison donnée est celle du soleil à 0 heures U.T(on l’appellera D0).

D0 est positif du printemps jusqu’à l’automne(car au-dessus de l’équateur céleste)et négatif de l’automne au printemps(car en-dessous de l’équateur céleste). d est positif du printemps à l’été et de l’automne à l’hiver(car dans ces deux cas de figure D0 augmente), et négatif quand D0 diminue(de l’été à l’automne et de l’hiver au printemps). L’angle AHvp correspond à l’angle horaire du soleil à l’instant de l’observation, il se calcule donc.

Sachant tout ça, pour connaître la position du soleil à l’instant d’observation(t)il suffit d’appliquer ces formules:

Déclinaison=D0+d*t

AHvp=AHv0+V*t

Remarque: en observant cette page d’éphémérides on voit que la déclinaison est quasi-nulle le 23 septembre, c’est l’équinoxe d’automne. à cet instant le pied de l’astre du soleil est sur l’équateur céleste.

La règle des quatre 21: aux équinoxes(20 mars, 23 septembre environ), D0=0 environ. Aux solstices(21 juin et 22 décembre grosso modo), D0=+23°26′ et -23°26′ respectivement.

.Les étoiles

C’est presque la même chose, mais pour l’angle horaire l’origine va changer. On utilise cette fois l’angle horaire du point vernal, sa vitesse de déplacement est constante et fait 15°2′,5. Le point vernal est le point d’intersection entre l’écliptique et l’équateur céleste, celui où le soleil passe de l’hémisphère Sud au Nord(nœud ascendant). L’angle horaire de l’étoile par rapport au méridien de Greenwich se trouve de cette façon:

angle horaire=AHGy+AV

AHGy est l’angle horaire du point vernal compté à partir du méridien de Greenwich.

AV est l’ascension verse de l’étoile, comptée à partir du point vernal vers l’Ouest.

5)Ce qu’on trouve sur la sphère céleste

Comme on l’a vu dans « se positionner et se repérer… » , selon la latitude où l’on se trouve la sphère céleste va bouger différemment. Dans l’hémisphère Nord les étoiles vont tourner dans le sens anti-horaire autour de Polaris, dans l’hémisphère Sud dans le sens horaire autour du pôle Sud céleste identifiable grâce à la croix du Sud. Au pôles les étoiles suivent des trajets parallèles à l’horyzon et sont circumpolaires(ne se lèvent pas, ne se couchent pas). A l’équateur les deux pôles célestes se trouvent à l’horyzon et  toutes les étoiles se lèvent et se couchent. Aux latitudes intermédiaires certaines étoiles sont circumpolaires, d’autres non.

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Pour une étoile de Déclinaison D et une latitude de l’observateur L:

(90°-L)<D, étoile visible toute la nuit

D<-(90°-L), étoile non visible

-(90°-L)<D<(90°-L), étoile visible sur une certaine durée(non circumpolaire)

La nuit, l’écliptique se repère grâce aux douze constellations du zodiaque(on peut ajouter Ophiucus donc treize en fait)et aussi avec les planètes du système solaire(car elle sont aussi comprises dans le plan de l’écliptique). Les constellations du zodiaque sont le Bélier, le Taureau, les Gémeaux, le Cancer, le Lion, la Balance, la Vierge, le Verseau, le Capricorne, le Sagittaire, le Scorpion, les Poissons. Les planètes visibles sont Vénus, Mars et Jupiter.

L’équateur céleste peut être identifiable grâce à la constellation d’Orion, l’étoile Mintaka(située entre la géante rouge Bételgeuse et la géante bleue Rigel)qui en fait partie est située quasiment sur l’équateur céleste.

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P.A.M.S veut dire pléiades, aldébaran, les 3 mages et Sirius car elles sont quasiment alignées.

Les étoiles scintillent, les planètes ne scintillent pas. L’étoile la plus brillante est Sirius dans la constellation du grand chien. La planète la plus brillante est Vénus.

Les planètes: Vénus et Jupiter sont les objets les plus lumineux après le Soleil et la Lune, ils se déplacent par rapport au reste du fond étoilé. Les planètes bougent à travers les constellations du zodiaque. Vénus est visible jusqu’à trois heures avant ou après le coucher du Soleil(car cette planète est proche de lui, Mercure n’est pas visible car trop près du Soleil). Vénus n’est jamais plus haute que 46° par rapport à l’horyzon.

Se positionner et s’orienter sans gps ni calculatrice

Aujourd’hui avec l’emploi du gps la navigation a été considérablement facilitée, on peut à tout moment connaitre sa position à quelques mètres près. C’est cependant toujours marrant et ludique de savoir s’orienter aussi avec le ciel, à condition évidemment de ne pas être gêné par les nuages!

1)Le soleil

La course du soleil par rapport à la terre est simple, la journée il se lève environ à l’Est et se couche environ à l’Ouest(il se lève à l’Est et se couche à l’Ouest aux équinoxes, le reste du temps ce n’est pas exact), et à l’année le soleil oscille entre les 2 tropiques. Au solstice d’été le soleil se situe au zénith du tropique du cancer(à une latitude d’environ 23°26’N)et au solstice d’hiver il est proche du zénith du tropique du capricorne(latitude 23°26’S). Aux équinoxes le soleil est proche du zénith de l’équateur. Petit schéma!

s'orienter1

(c’est pas vraiment les beaux arts, mais bon…)

 

 

 

 

Durant la journée le soleil décrit une parabole inversée dans le ciel, il atteint son point culminant à midi(le midi local du lieu d’observation). Par exemple si  un observateur a une montre réglée en heure UT(heures du méridien de Greenwich)il verra normalement le soleil culminer à midi si il est situé à Greenwich. Si ce même observateur se place dans un endroit à l’Est de Greenwich le soleil culminera plus tôt, et si il va à l’Ouest du méridien de Greenwich cette observation se fera plus tard.

On peut donc déduire une méthode pour trouver le Sud ou le Nord à 5° ou 10° près, valable dans les zones tempérées(entre 23°26′ et 66°34′ Sud ou Nord):

.Mettre sa montre en heure UT.

.Dans l’hémisphère Nord on oriente l’aiguille des heures vers le soleil et le Sud est indiqué par la bissectrice de l’angle formé entre cette aiguille et la direction du 12. Dans l’hémisphère Sud le principe est identique mais c’est le chiffre 12 du cadran de la montre qui doit être pointé vers le soleil, le Nord se trouve à mi-chemin entre le 12 et l’aiguille des heures(dans les deux cas on n’utilise pas la grande aiguille des minutes).

La montre fait ici office de boussole en quelques sorte(si vous avez une montre à affichage digital c’est foiré).

Remarque: dans les régions tempérées à midi local le soleil indique le Sud dans l’hémisphère Nord et le Nord dans l’hémisphère Sud.

2)L’étoile polaire(Polaris pour les intimes)

Dans l’hémisphère Nord il y a une étoile bien pratique pour trouver le Nord et aussi sa latitude, c’est l’étoile polaire. Sur la voûte céleste c’est la seule étoile quasiment immobile. On la trouve facilement car elle est située entre la grande ourse et la constellation de Cassiopée. Petit schéma!

s'orienter 2En observant la casserole de la grande ourse, si on utilise le bord opposé au manche(les étoile Dubhé et Mérak), il sufit de multiplier par 5 la distance entre ces deux étoiles tout en conservant leur alignement pour tomber sur Polaris, donc le Nord.

 

 

En utilisant un sextant et en faisant une mesure de la hauteur de Polaris sur l’horyzon, on obtient sa latitude sur la surface du globe(après plusieurs essais la marge d’erreur entre ma latitude réelle et celle trouvée par cette méthode n’a jamais dépassé 30 minutes, après cette marge peut varier jusqu’à 1° je crois). Petit schéma!

s'orienter3

Ici, l’angle Bêta=90°-L, donc Alpha=180°-(90°+Bêta). Donc Alpha=L=latitude. Polaris étant très éloignée de nous(on peut considérer quasi à l’infini), ses rayons de lumière reçus depuis la terre sont donc parallèles.

 

 

 

 

3)La lune

Si la Lune se lève après minuit(quand elle décroît), le côté éclairé par le soleil se situera à l’Est; si elle se lève avant le coucher du soleil le côté éclairé sera à l’Ouest(quand elle croît). Un petit moyen mnémotechnique: « dans l’hémisphère Nord, la Lune ment. Dans l’hémisphère Sud elle ne ment pas. » Cela veut simplement dire que sous nos latitudes lorsque la Lune croît elle forme un D, et quand elle décroît elle forme un C. Attention, schéma!

s'orienter 4(je tiens à remercier l’école maternelle de mon bled pour me fournir en schémas!)

 

 

 

 

Remarque: quand la Lune est en croissant, si on prolonge l’alignement des deux extrémités du croissant par une droite, l’intersection de cette dernière avec l’horyzon donne environ le Sud.

4)Les étoiles

Comme on l’a vu précédemment sur la voûte céleste seul l’étoile polaire est relativement fixe(dans l’hémisphère Nord). La terre tournant sur elle-même, on a donc l’illusion dans notre référentiel terrestre que c’est toute la voûte céleste qui tourne autour de l’étoile polaire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre(la voûte tourne dans le sens horaire dans l’hémisphère Sud). On peut donc en déduire dans l’hémisphère Nord que:

.Si on voit une étoile bouger vers la droite elle nous indique environ le Sud

.Si on voit une étoile bouger vers la gauche c’est le Nord

.Si elle monte c’est l’Est

.Si elle descend c’est l’Ouest

(dans l’hémisphère Sud c’est l’inverse)

En fait au fur et à mesure de la nuit les étoiles vont tourner autour de l’étoile polaire de la façon suivante:

nuit-des-etoiles-2013-4